МОУ Можаров – Майданская СШ
Учебно-исследовательская работа
на тему
«Необычные многогранники
из бумаги»
Выполнил:
ученик 9 класса Колбасов А.В.
Руководитель:
учитель математики Погодина А.А.
Актуальность выбранной темы:
Увидел необычные многогранники из бумаги в стиле оригами и решил сделать некоторые из них своими руками.
Цель:
развитие познавательного интереса к необычным формам многогранников.
заинтересовать окружающих такими необычными многогранниками.
Задачи:
изучить историю многогранников;
изучить материал по изготовлению многогранников из бумаги в стиле оригами;
доказать себе, что я могу это сделать;
показать другим как это делать.
История фигур
Древняя математическая наука уходит своими корнями в далекое прошлое, во времена процветания Древнего Рима и Греции. Тогда было принято связывать технические аспекты с философскими. Поэтому, согласно учению Платона (один из древнегреческих мыслителей), каждый из многогранников, состоящих из определенного количества одинаковых плоскостей, символизирует одну стихию. Фигуры из треугольников - октаэдр, икосаэдр и тетраэдр - ассоциируются с воздухом, водой и огнем соответственно и могут преобразовываться друг в друга благодаря однотипности граней, каждая из которых имеет три вершины. Землю же символизирует гексаэдр из квадратов. А додекаэдр, благодаря особенным пятиугольным граням, выполняет декоративную роль и является прототипом гармонии и мира. Также известно, что один из греческих математиков, Евклид, доказал в своем учении «Начала» неповторимость упомянутых платоновых тел и их свойство «вписываться» в сферу
Правильные многогранники
Все фигуры отличаются друг от друга различным количеством граней и их формой. Кроме этого, некоторые модели могут быть сложены из цельного листа (как описано в примере изготовления икосаэдра), другие – только путем сбора из нескольких модулей. Классическими считаются правильные многогранники. Из бумаги их делают, придерживаясь главного правила симметрии – наличия в шаблоне полностью одинаковых граней. Существует пять основных видов таких фигур. В таблице приведены сведения об их названиях, количестве и формах граней:
Бумажные поделки – это не только различные открытки и аппликации, выполненные в виде плоских изделий. Очень оригинальными получаются объемные модели фигур (фото 1). Например, можно сконструировать из бумаги многогранник. Рассмотрим некоторые способы его выполнения, используя схемы и фотографии.
Сделан показанный из бумаги многогранник путем сворачивания сомкнутых между собой двадцати равнобедренных треугольников. Схема наглядно демонстрирует выкройку для изготовления фигуры. Рассмотрим подробнее все этапы работы по созданию икосаэдра. Делаем двадцатигранник Икосаэдр состоит из одинаковых по размеру равнобедренных треугольников. Его можно легко сложить, используя представленную на рисунке 2 развертку. Возьмите прямоугольный лист бумаги. Начертите на нем двадцать одинаковых по размеру и форме треугольников, расположив их в четырех рядах. При этом каждая грань одного будет одновременно являться стороной другого. Полученный шаблон используйте для изготовления заготовки. Она будет отличаться от основы-развертки наличием припусков для склеивания по всем внешним линиям. Вырезав из бумаги заготовку, согните ее по линиям. Формируя из бумаги многогранник, замыкайте крайние ряды между собой. При этом вершины треугольников соединятся в одну точку.
Разнообразие фигур
На основе пяти приведенных видов, используя умение и фантазию, умельцы легко конструируют множество различных моделей из бумаги. Многогранник может совершенно отличаться от вышеописанных пяти фигур, формируясь одновременно из различных по форме граней, например из квадратов и треугольников. Так получаются архимедовы тела. А если одну или несколько граней пропустить, то получится открытая фигура, просматриваемая как снаружи, так и внутри. Для изготовления объемных моделей используются специальные выкройки, вырезаемые из достаточно плотной, хорошо держащей форму, бумаги. Делают и особенные многогранники из бумаги. Схемы таких изделий предусматривают наличие дополнительных, выступающих модулей. Разберем способы, как сконструировать очень красивую фигуру на примере додекаэдра (фото 3).
Как сделать из бумаги многогранник с двенадцатью вершинами: первый способ Такую фигуру еще называют звездчатым додекаэдром. Каждая из его вершин в своем основании является правильным пятиугольником. Поэтому делают двумя способами такие многогранники из бумаги. Схемы для изготовления будут несколько отличаться друг от друга. В первом случае это единая деталь (фото 3),
в результате сворачивания которой получается готовое изделие. Кроме основных граней, на чертеже присутствуют соединительные части для склеивания, благодаря которым фигура смыкается в единое целое. Для изготовления многогранника вторым способом нужно сделать отдельно несколько шаблонов. Рассмотрим процесс работы подробнее. Как сделать многогранник из бумаги: второй способ Изготовьте два главных шаблона
Первый. Нарисуйте на листе окружность и поделите ее поперек на две части. Одна будет основой для выкройки, дугу второй сразу сотрите для удобства. Поделите деталь на пять равных частей и ограничьте все радиусы поперечными отрезками. В результате получатся соединенные вместе пять одинаковых равнобедренных треугольников. Изобразите рядом примыкающую к среднему отрезку точно такую же полуокружность, только в зеркальном отражении. Полученная деталь при сворачивании выглядит как два конуса. Изготовьте таких аналогичных шаблонов всего шесть штук. Для их склеивания используется вторая деталь, которая будет помещаться вовнутрь.
Второй. Этот шаблон – пятиконечная звезда. Выполните одинаковые двенадцать заготовок. Формируя многогранник, каждую из звезд с подогнутыми вверх концами помещают внутрь конусообразных деталей и приклеивают к граням. Полный сбор фигуры получается путем соединения двойных блоков дополнительными отрезками бумаги, заводя их вовнутрь. Моделируя изделия, довольно проблематично сделать их разными по размеру. Готовые модели многогранников из бумаги не так-то просто увеличить. Для этого недостаточно просто сделать припуски по всем внешним границам. Нужно масштабировать отдельно каждую из граней. Только так возможно получить увеличенную копию первоначальной модели. Используя второй способ изготовления многогранника, сделать это намного проще, так как будет достаточно увеличить первоначальные заготовки, по которым уже выполняется нужное количество отдельных деталей.
Додекаэдр в технике оригами
Модуль оригами - отличная основа для додекаэдра. Понадобится 30 прямоугольных или квадратных листов бумаги. Каждый из листочков складывается пополам, затем каждую половинку нужно отогнуть в противоположную сторону - получится "гармошка" в четыре сложения. Иногда, если лист не квадратный, делают "гармошку" в три сложения. В итоге у вас в руках узкая промоугольная полоска. Затем с каждой стороны прямоугольника по узкой стороне нужно отогнуть уголок. Уголки складываются в одну сторону - это будущие крепления, которые будут заправляться в "гармошку". Затем согните модуль вовнутрь наискосок по диагонали от маленьких боковых уголков. Таким образом, один модуль для оригами додекаэдра - трехмерный, он включает два ребра будущей фигуры и уголки. Когда все модули готовы, можно начинать сборку.
Сборка начинается с одного узла, для которого необходимо взять три модуля. На рисунке ниже это голубой, розовый и желтый модули оригами. Схемы сборки достаточно просты, и с такими фигурами легко справляются даже начинающие (36 заготовок).
Какие поделки можно сделать на основе додекаэдра?
Каждая сторона додекаэдра из бумаги - это плоский пятиугольник, который сам по себе может являться основой для самых разных и причудливых форм. Например, на фото ниже пятиугольник заменен пятиконечнй звездой.
Ребра в такой фигуре отсутствуют, хотя предполагаются. Как сделать додекаэдр из бумаги в виде звезды? Замените в развертке, представленной выше, каждый пятиугольник необходимой пятиконечной фигурой и соедините их не по ребрам, а по вершинам. На этом фото представлен звездчатый додекаэдр. В основе каждого "луча" лежит все тот же пятиугольник. Вместо пятиугольных пирамид может быть выполнена любая объемная фигура.
Многогранник из тетраэдров.
Делаем 30 модулей(заготовок)
Вывод: Изготовление необычных многогранников из бумаги в стиле оригами развивает пространственное воображение, улучшает моторику пальцев рук, делает человека более целеустремлённым и трудолюбивым.
Здесь уже публиковались модели многогранников (http://master.forblabla.com/blog/45755567715/Mnogogranniki), но хочется добавить свои. Ссылка та же, на wenninger.narod.ru. У меня сначала появилась книга, потом, когда подключился к интернету, написал даже письмо автору и получил ответ, потом книга с письмом потерялись, но нашёл сайт и продолжил делать модели.
Если интересно, могу каждый сфотографировать отдельно.
Александр
Ну что ж, по просьбе трудящихся выкладываю фото всех многогранников. Названия я особо не помню, я их классифицирую по многогранному углу. В книге (Веннинджер. Модели многогранников) собраны как многогранники, так и их звёзчатые формы. Платоновы тела это 5 выпуклых правильных многогранников. У них грани одного типа (правильные треугольники, квадраты и пятиугольники) и все многогранные углы одинаковы. Архимед добавил ещё 13 выпуклых полуправильных многогранников (грани - разные многоугольники, но все углы по-прежнему одинаковы). А вот если брать не выпуклые многоугольники (в книге используются треугольники, квадраты, пятиугольники, восьмиугольники и десятиугольники), а их звёздчаные формы (пятиугольная, восьмиугольная и десятиугольная звезды), то получается масса новых многогранников. К тому же, грани могут соединяться также в виде звёзд, поэтому невыпуклые многогранники могут состоять, как из звёздчатых многоугольников, так и из выпуклых.
Наконец, аналогично тому, что продолжение линий превращает выпуклый многоугольник в звёздчатый, так и продолжение граней образует звёздчатые формы. Правда, известно только 4 правильных многогранников такого типа (все три звёздчатые формы додекаэдра и одна звёздчатая форма икосаэдра), у других либо грани - неправильные многоугольники, либо многогранник распадается на несколько отдельных многогранников.
Особую красоту дают формы, у которых грани видны с двух сторон, а также содержащие дыры, плюс те, части которых только касаются друг друга вершинами.
Конечно, у многогранников есть своя математика, но об этом потом.
Фото сопровождаются моделями многогранных углов. Это основание пирамиды, которая получится, если от вершины многогранника отрезать кусочек, как от торта. 3, 4, 5, 6, 8 и 10 обозначают выпуклые многоугольники, 5/2, 8/3 и 10/3 - пятиугольную, восьмиугольную и десятиугольную звезду (последовательность вершин делает соответственно 2, 3 и 3 оборота вокруг центра).
Поехали. Сначала треугольники. (в скобках - номера моделей из книги).
Бесконечное семейство призм.
Треугольная призма.
Черырёхугольная призма, гексаэдр, куб (3).
Пятиугольная призма и её звёздчатая форма.
Шестиугольная призма.
Тетраэдр (1).
Додекаэдр (5) и три его звёздчатые формы, которые являются правильными многогранниками: малый звёздчатый додекаэдр (20), большой додекаэдр (21) и большой звёздчатый додекаэдр (22):
Усечённый тетраэдр (6).
Усечённый октаэдр (7).
Усечённый гексаэдр (куб) (8).
Усечённый икосаэдр (9). Раньше так шили футбольные мячи.
Усечённый додекаэдр (10).
Ромбоусечённый кубооктаэдр (15).
Ромбоусечённый икосододекаэдр (16).
Квазиусечённый гексаэдр (92).
Квазиусечённый кубооктаэдр (93).
Большой квазиусечённый икосододекаэдр (был. Увы, изнутри был непрочным и однажды сломался). (108)
Переходим к многогранникам, у которых в угле сходится 4 грани.
Сначала вершинная фигура в виде квадрата.
Бесконечное семейство антипризм.
Треугольная антипризма, октаэдр (2), и его звёздчатая форма - звёздчатый октаэдр (19).
Квадратная антипризма и её две звёздчатые формы.
Кубооктаэдр (11) и его звёздчатые формы (43 - 46).
Икосододекаэдр (12) и его звёздчатые формы (47, 63, 64), а в книге их очень много.
Ромбокубооктаэдр (13) и его звёздчатая форма.
А вот этот многогранник (псевдоромбокубооктаэдр) наделал много шума, т.к. его опубликовали только спустя 2000 лет после Архимеда (на рубеже 50-60 г.г. 20-го века). На самом деле, у него есть дефект: когда я говорил, что у полуправильных многогранников углы (вершинная модель) одинаковые, то можно заметить, что порядок обхода граней у соседних вершин всегда зеркальный, например, если у одной вершины грани идут в порядке 3-4-4-4 по часовой стрелке, то у соседней вершины тот же порядок, но против часовой стрелки. Так вот, у псевдоромбокубооктаэдра встречаются пары вершин, у которых нет зеркальной симметрии.
Ромбоикосододекаэдр (14).
Малый икосоикосододекаэдр (71).
Додекододекаэдр (73).
Ромбододекододекаэдр (76).
Большой икосододекаэдр (94).
Большой додекоикосододекаэдр (99).
Теперь многогранники, у которых тоже 4 грани сходятся в одной вершине, но порядок крест-накрест:
Тетрагемигексаэдр (67).
Октагемиоктаэдр (68).
Малый кубокубооктаэдр (69).
Как сделать многогранник?
Необходимость сделать многогранник возникает нечасто, однако случается, что ребёнку на дом задают это задание или вы решаете сделать оригинальный подарок другу. А возможно, у вас возникла какая-то дизайнерская задумка. Так или иначе, понадобился многогранник из бумаги. Как его склеить?
Делаем многогранник из бумаги
Для того, чтобы процесс работы было проще описать, расскажем, как сделать из бумаги треугольную пирамиду или тетраэдр ABCD. Это фигура с четырьмя гранями в виде равносторонних треугольников. Для работы нам понадобятся:
Сначала рисуем на бумаге ближе к нижнему краю листа (но не на самом краю!) основание тетраэдра - равносторонний треугольник ABC. Удобнее будет нарисовать его вершиной вниз, но это не принципиально.
Чтобы треугольник получился действительно равносторонним, лучше всего воспользоваться линейкой и циркулем. Рисуем прямую, на ней отсекаем отрезок AB, равный стороне треугольника. Точки А и В будут двумя вершинами треугольника. Затем циркулем рисуем две дуги такого же точно размера с центрами в точках А и В. В месте пересечения дуг будет третья вершина С.
Если не хотите работать с циркулем, можно воспользоваться транспортиром. Углы в равностороннем треугольнике равны 60 градусам. Из точек А и В рисуем лучи под углом 60 градусов к отрезку. Точка их пересечения будет вершиной С.
Основание есть. Теперь к нему нужно пририсовать ещё три таких же точно треугольника - боковые грани тетраэдра. Принцип построения треугольников остаётся тем же самым, только в качестве основания новых треугольников-граней возьмём уже нарисованные 
стороны АВС. У нас получатся ещё три треугольника: АВD`, ВСD`` и САD```.
Нам нужно будет собрать все три вершины D`, D``, D``` в одну точку D и склеить фигуру. Для склейки потребуется пририсовать дополнительные полоски бумаги примерно по 0,5 см шириной к сторонам А D`, В D`` и С D```.
Теперь можно вырезать получившуюся фигуру, согнуть её аккуратно по всем линиям, намазать клеем дополнительные полоски и склеить.
Развёртку более сложных фигур делают точно так же. Но если не хочется думать самому, в интернете можно найти готовые. Например, вот изображены развёртки сразу нескольких фигур.
Что делать, если у вас нет необходимых для игры многогранников? Что за вопрос - конечно же, купить их. Если в вашем городе нет соответсвующих магазинов, то в наше время можно заказать игровые многогранники во многих Интернет-магазинах, в которых есть доставка почтой в другие города. Да, но... бывают ситуации, когда играть нужно уже сегодня, а дайсов под рукой нет. Что же делать? Самый простой способ изготовить необходимые многогранники из картона или плотной бумаги: как свидетельствует наш коллега Andreu , полученный результат вполне приемлим и достижим за очень небольшое время.
Многогранник из бумаги за 20 минут
Для создания кубика, Вам понадобятся: линейка, ластик, клей (лучше клей-карандаш), булавка, ножницы, карандаш, нож, плотная бумага (чертёжная или для рисования).
Двадцатигранник (икосаэдр).
Построим двадцать треугольников с равными сторонами по рисунку (я строил треугольники со стороной 15 мм), можно воспользоваться готовым трафаретом. Дочертим «крылышки» для приклеивания граней друг к другу.
По вычерченным сторонам треугольников выдавите желобки для сгибов (тупой стороной ножа по линейке).
Нанесите числа и вырежьте.
Сворачиваем по сгибам и склеиваем.
Осталось доклеить верхние треугольники.
Закрываем последние два треугольника.
Прижимаем «крылышки» внутри булавкой
Двенадцатигранник (Додекаэдр).
Построим двенадцать пятиугольников с равными сторонами по рисунку (я строил пятигранники со стороной 10 мм).
Склеиваем, готово!
Восьмигранник (Октаэдр).
Построим восемь треугольников с равными сторонами по рисунку (я строил треугольники со стороной 15 мм).
- 15 листов плотной бумаги формата А4.
- Трафарет — загрузить здесь.
- Белая нитка.
- Матрица для высечки.
- Металлическая линейка.
- Клей-карандаш или двухсторонний скотч.
- Деревянная палочка 50 см в длину и 12 мм в диаметре.
- Скотч.
Шаг 1. Переносим трафарет и вырезаем фигуры
Загрузите и перенесите трафарет для 15 цветных бумаг. Вырежьте фигуры.
Шаг 2. Складываем фигуры
Сложите бумагу нарисованной стороной внутрь по отпечатанным линиям.
Шаг 3. Отрезаем нитку
Отрежьте 15 ниточек длиной около 60 см и отложите их в сторону.
Шаг 4. Собираем фигуры
Проклейте по одному из отворотов, сложите фигуру и соедините отворот и сторону вместе, пока они не склеятся. Повторите то же самое с другими отворотами, пока все стороны фигуры, за исключением одной, не склеятся.
Шаг 5. Приклеиваем нитку
Отрежьте небольшие кусочки скотча. Положите конец нитки на внешний уголок бумажной фигуры, чтобы он заходил на несколько сантиметров. Сделайте из нитки петельку и закрепите ее скотчем. Благодаря петле будет меньше шансов, что нитка выскочит. Склейте оставшиеся два отворота, чтобы закрыть геометрическую фигуру. Повторите шаги 4 и 5 для всех фигур.
Шаг 6. Распределяем фигуры по местам
У конструкции должно быть пять рядов: в первом ряду одна фигура, во втором – две, в третьем – три и т.д. Расположите фигуры по рядам и по цветам. Проверьте, не запутались ли нитки.
Шаг 7. Собираем конструкцию
Пометьте карандашом на палочке следующие промежутки: 7 см слева, затем восемь интервалов по 4,5 см. Всего должно получиться 9 пометок.
Возьмите первую фигуру в пятом ряду (самом высоком) и повесьте ее на палочку. Фигура должна свешиваться на 15 см вниз. Обмотайте нитку несколько раз и завяжите узелок под палочкой. Отрежьте «хвостик» нитки.
Фигуры в этом ряду будут свешиваться с каждой второй пометки – первой, третьей, пятой, седьмой и девятой. Я хотела, чтобы конструкция выглядела немного по-другому, поэтому повесила фигуры на нитках разной длины. Если вы хотите, чтобы все выглядело ровно, отмерьте и отрежьте нитки одинаковой длины.
Конструкцию будет собрать легче, если вы сможете подвесить ее. Я расположила мою между полкой и столом, попробуйте подвесить свою между спинками стульев.
Четыре фигуры в ряду 4 буду висеть между верхними фигурами, так что привяжите их к палочке на пометках два, четыре, шесть и восемь.
Фигуры ряда 3 привяжите к пометкам три, пять, семь.
Фигуры второго ряда – к пометкам шесть, а первого ряда – к пометке пять.
Отрежьте две нитки по 60 см, чтобы повесить конструкцию. Привяжите одну к пометке один, а другую к девятой. Соедините вместе свободные концы и привяжите их к крючку или любому другому подвесному элементу.
Повесьте конструкцию под потолок или на стену.
